Mais questões excelentes da OBM!

01.  [Numeração] (OBM/2014) Juca fez uma lista de todos os números inteiros positivos de quatro algarismos distintos, em ordem crescente. Em seguida, fez outra lista das diferenças positivas entre todos os pares de números vizinhos. Na segunda lista, qual foi o maior número que Juca escreveu?
A) 25
B) 36
C) 47
D) 103
E) 105

Solução: As possíveis diferenças são 1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 14, 15, 21, 25, 26, 36, 103 e 105. E a maior, 105, pode ser obtida fazendo 1203 – 1098.

GABARITO: E

02.  [Raciocínio Lógico] (OBM/2014) Numa sala completa, quando a professora perguntou se os alunos tinham estudado para a prova, vários alunos disseram que sim e os 15 restantes disseram que não. Quem não estuda sempre mente, quem estuda às vezes mente, às vezes diz a verdade. Se 23 alunos estudaram para a prova e 32 mentiram, quantos alunos tem a sala?
A) 38
B) 40
C) 42
D) 44
E) 55

Solução: Como quem não estudou sempre mente e diz que estudou, sabemos que todos que disseram que não estudaram estavam mentindo e na verdade estudaram. Dessa forma, 15 alunos estudaram e falaram mentira. Como 23 estudaram, sabemos que 23 – 15 = 8 estudaram e falaram a verdade. Se 32 alunos mentiram e 15 estudaram e mentiram,
32 – 15 = 17 são aqueles alunos que não estudaram e mentiram. Assim, o número total de alunos é a soma entre quem estudou e falou mentira, quem estudou e falou verdade e quem não estudou (e, consequentemente, mentiu). Temos 15 + 8 + 17 = 40.

GABARITO: B

03.  [Raciocínio Lógico] (OBM/2014) Adão, Bernardo e Carlos jogaram uma partida com bolinhas de gude. Adão perdeu 5 bolinhas, Bernardo perdeu 4 e Carlos ganhou todas as bolinhas que eles perderam. Ao final do jogo, todos os meninos acabaram ficando com a mesma quantidade de bolinhas. Lembrando que sem bolinhas ninguém joga, pelo menos quantas bolinhas Adão e Bernardo tinham, juntos, quando começaram a jogar?
A) 11
B) 13
C) 19
D) 29
E) 33

Solução: Vamos chamar de A, B e C as quantidades iniciais de bolinhas de Adão, Bernardo e Carlos, respectivamente.
Se Carlos ganhou as bolinhas de seus amigos, ele passou a ter C + 9 bolinhas, enquanto que Adão e Bernardo ficaram com A – 5 e B – 4 bolinhas, respectivamente. Assim, temos que C + 9 = A – 5 = B – 4.
Dessa igualdade, tiramos que A = C + 14 e B = C + 13.
Como Carlos tinha ao menos 1 bolinha para começar a jogar, Adão tinha ao menos 1 + 14 = 15 bolinhas e Bernardo tinha ao menos 1 + 13 = 14 bolinhas. Portanto, Adão e Bernardo tinham, juntos, ao menos 29 bolinhas no começo do jogo.

GABARITO: D

04.  [O Primeiro Grau] (OBM/2014) Rosa resolveu distribuir 250 reais para seus sobrinhos, dando a mesma quantia inteira (sem centavos) para cada um e percebeu que sobrariam 10 reais. Então ela pensou em diminuir em 1 real a quantia de cada um e descobriu que sobrariam 22 reais. Por fim, ela resolveu distribuir apenas 240 reais. Quanto ganhou cada sobrinho?

A) 5 reais
B) 10 reais
C) 12 reais
D) 15 reais
E) 20 reais

Solução: Sendo S a quantidade de sobrinhos de Rosa e Q a quantia que cada um recebeu quando Rosa distribuiu apenas 240 reais, da primeira afirmação temos que Q.S +10 = 250
QS = 240 (I).

Da segunda afirmação, segue que (Q–1)S + 22 = 250
QS – S = 228 (II).

Fazendo (I) – (II) temos que QS – (QS – S) = 12

S = 12. Assim, Rosa tem 12 sobrinhos e cada um recebeu 240/12 = 20 reais.

GABARITO: E

05.  [Raciocínio Lógico]  (OBM/2014)  Joana foi comprar 20 canetas e comparou os preços em duas lojas: na loja A, cada caneta custa 3 reais, mas há uma promoção de 5 canetas pelo preço de 4, e na loja B, cada caneta custa 4 reais, mas a cada 5 canetas compradas, como brinde ela pode levar até mais duas de graça. Tentando fazer a melhor escolha entre comprar somente na loja A ou somente na loja B, quanto ela pode economizar?

A) nada B) R$ 6,00 C) R$ 8,00 D) R$ 10,00 E) R$ 12,00

Solução:  Se Joana comprar as 20 canetas na Loja A, ela pagará o preço de 16 canetas (já que 20 = 4.5 e a cada cinco canetas ela paga o preço de apenas quatro). Assim, na Loja A ela gastaria 16.3 = 48 reais, já que cada caneta custa 3 reais.

Se Joana comprar as 20 canetas na Loja B, como ela compra 5 e ganha 2, ou seja, a cada 7 ela paga o preço de apenas 5. Assim, Joana precisa de 7 + 7 + 6 canetas, que saem pelo preço de apenas 3.5 = 15 canetas. Como cada unidade custa 4 reais, ela gastaria 15.4 = 60 reais na Loja B.

Assim, entre a opção mais barata e a mais cara, Joana pode economizar 60 – 48 = 12 reais.

GABARITO:  E

06.  [Raciocínio Lógico]  (OBM/2014)  Roraima Jonas, um arqueólogo aventureiro, ao fugir de uma caverna se depara com quatro portas, numeradas de 1 até 4, e quatro mensagens. As mensagens dizem:
Mensagem 1: “As portas 1 e 2 são seguras.”
Mensagem 2: “Exatamente duas entre as portas 1, 2 e 3 são seguras.”
Mensagem 3: “A porta 1 é segura.”
Mensagem 4: “A porta 3 é segura.”
Roraima Jonas é um estudioso e, por isso, sabe que exatamente uma das mensagens é mentira e exatamente uma das portas não é segura (ativaria uma armadilha). Qual porta Roraima Jonas pode garantir que é segura?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Não há nenhuma porta que Roraima pode garantir que é segura.

Solução:  Se a porta 1 não é segura, as mensagens 1 e 3 seriam simultaneamente falsas e
isso contrariaria as informações do enunciado porque sabemos que apenas uma das mensagem o é. 

Vale observar que cada uma das outras portas pode ser a porta não segura, resultando em nenhuma ou duas mensagens falsas.

GABARITO:  A

07.  [Raciocínio Lógico]  Em Portugal, o dia 4 de outubro de 1582 foi o último dia do calendário juliano, que foi substituído pelo calendário adotado atualmente, o calendário gregoriano. O dia seguinte foi definido como 15 de outubro de 1582, ou seja, não houve os dias 5 a 14 de outubro de 1582.

A única diferença entre os calendários é que, no calendário juliano, todos os anos múltiplos de 4
eram bissextos; no calendário gregoriano, os anos que são múltiplos de 100, mas não de 400, não
são bissextos. Assim, 1900 seria um ano bissexto no calendário juliano, mas não no calendário
gregoriano.

Que dia seria hoje, 3 de junho de 2014, se não tivéssemos mudado de calendário?
A) 20 de maio de 2014
B) 21 de maio de 2014
C) 22 de maio de 2014
D) 16 de junho de 2014
E) 17 de junho de 2014

Solução:  Inicialmente, o calendário gregoriano impôs uma vantagem de 10 dias em
relação ao calendário juliano. Além disso, de lá para cá, para cada um dos anos
múltiplos de 100 que não são de 400, a saber: 1700, 1800 e 1900; o calendário
gregoriano ganhou mais um dia de vantagem totalizando assim 13 dias. Como o mês de
maio possui 31 dias nos dois calendários, hoje seria o dia 21 de maio de 2014.

GABARITO:  B

Algumas excelentes questões da OBM/2014

01.  [Combinatória] (OBM/2014) O número 2014 tem quatro algarismos distintos cuja soma é 7. Quantos números inteiros positivos têm essas duas propriedades?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 23

Solução: Vamos analisar quais quádruplas de algarismos são válidas e, para isso, vamos chamar de d o maior número dessa quádrupla. Se d > 4, teremos pelo menos um dígito repetido na formação do número, pois 5 + 2 + 1 + 0 (que seria nossa menor soma possível com d > 4) ultrapassa nossa soma de 7.

Se d < 4, nossa maior soma possível é 6 (3 + 2 + 1 + 0), o que também invalida nossa quádrupla. Portanto, d = 4. Além disso, teremos que somar 7 – 4 = 3 para os demais números distintos da quádrupla. A única maneira de fazer isso com 3 algarismos é usando 2, 1 e 0.

Assim, nossa resposta será a quantidade de números de 4 algarismos distintos formados por 4, 2, 1 e 0. Contando a quantidade dígito a dígito, temos 3 opções para o primeiro dígito (lembre-se que o número não pode começar com 0 à esquerda!), 3 opções para o segundo dígito (qualquer dígito tirando o já escolhido), 2 opções para o terceiro dígito(um dos 2 dígitos restantes) e 1 opção para o último dígito (o dígito que sobrou).

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 3 x 3 x 2 x 1 = 18 possíveis números.

GABARITO: C

02.  [Operações Fundamentais] (OBM/2014) Manuel, Antônio e Joaquim começam a pintar, no mesmo instante, três muros iguais de 60 metros de comprimento, um muro para cada um. Nos 10 primeiros minutos de trabalho, Manuel pinta 2 metros, Antônio 3 metros e Joaquim, 5 metros. Quem termina a sua parte, imediatamente passa a ajudar os outros, até que os três juntos terminem todo o trabalho, cada um mantendo o seu ritmo até o final. Quanto tempo levou para o trabalho ser feito?
A) 3 horas
B) 4 horas
C) 5 horas
D) 6 horas
E) 7 horas

Solução: Como o ritmo de trabalho dos pintores Manuel, Antônio e Joaquim é totalmente independente, podemos encarar os 3 pintores como um único (vamos chamá-lo de Mantôquim) que junta a necessidade e o ritmo dos 3. Assim, Mantôquim tem 60 + 60 + 60 = 180 metros de muro a uma velocidade de 2 +3 +5 = 10 metros de muro pintados a cada 10 minutos, ou seja, 1 metro a cada minuto. Dessa forma, Mantôquim levará 180/1 = 180 minutos (ou 3 horas) para completar seu serviço.

GABARITO: A

03.  [Raciocínio Lógico] (OBM/2014) Ana enfileira 2014 cartões e os numera de 1 até 2014. Em seguida, ela os pinta, a partir do primeiro, com as cores amarela, verde e preta, um de cada cor, sempre nessa ordem. Considere as seguintes afirmações:
I) O número de cartões é igual para as três cores.
II) Há mais cartões amarelos ímpares do que verdes pares.
III) Há mais cartões pretos ímpares do que verdes ímpares.
Quais afirmações são verdadeiras?
A) Somente I. B) Somente II. C) Somente III. D) Somente I e II. E) Somente II e III.

Solução: Vamos analisar cada afirmação separadamente.
I) O número de cartões é igual para as três cores.
Sabemos que a contagem dos números de cartões é a mesma apenas se o número de cartões for múltiplo de 3 (se temos x cartões de cada, o total será 3x cartões). Como 2014 não é divisível por 3, o número de cartões não é igual para as 3 cores. FALSO.

II) Há mais cartões amarelos ímpares do que verdes pares.
Os cartões ímpares amarelos ocorrem em turnos de 6 (a cada 3 volta a ser amarelo, mas com a paridade trocada; só com 6 ele terá de volta a mesma cor e paridade). Eles correspondem aos números 1 (6.0+1), 7 (6.1+1), 13(6.2+1), ... , 2005(6.334+1), 2011(6.335+1). Como todos são da forma 6.x + 1, com x de 0 a 335, temos 335 – 0 + 1 = 336 cartões ímpares amarelos.

Os cartões pares verdes também ocorrem em turnos de 6 pelo mesmo motivo. A primeira aparição de um cartão par verde é o 2(6.0+2), seguido pelo 8(6.1+2), e assim por diante, até chegarmos no 2012(6.335+2). Assim como os ímpares amarelos, os cartões verdes pares aparecem 335 – 0+1 = 336 vezes. Portanto, não temos mais cartões amarelos ímpares do que verdes pares. FALSO.

III) Há mais cartões pretos ímpares do que verdes ímpares.
Assim como vimos em II), os cartões passam a repetir em cor e paridade em turnos de 6. Portanto, teremos cartões pretos ímpares em 3(6.0+3), 9(6.1+3), 15(6.2+3), ..., e 2013(6.335+3), formando ao todo 335 – 0+1 = 336 cartões.

Os cartões verdes ímpares aparecem em 5(6.0+5), 11(6.1+5), ..., 2009(6.334+5), totalizando 334 – 0+1 = 335 cartões. Dessa forma, temos mais cartões pretos ímpares do que verdes ímpares. VERDADEIRO.

GABARITO: C

04.  [Operações Fundamentais] (OBM/2014) Numa classe do sexto ano, a professora sabe que todo grupo que montar com 13 alunos terá pelo menos uma menina e todo grupo que formar com 21 alunos terá pelo menos um menino. Sendo o número de alunos desta classe o maior possível, qual é a razão entre o número de meninos e o
número de meninas desta classe?
A) 13:21 B) 13:34 C) 3:5 D) 3:8 E) 1:2

Solução: Se houver maior ou igual a 13 meninos na sala é possível selecionar estes 13 meninos para compor um grupo de 13 alunos, um absurdo, já que para quaisquer 13 alunos pelo menos um é menina. Assim, há no máximo 12 meninos na sala. Da mesma maneira, concluímos que há no máximo 20 meninas na sala. Logo, a razão entre a quantidade de meninos e de meninas da sala é 12/20 = 6/10 = 3/5.

GABARITO: C

05.  [Operações Fundamentais] (OBM/2014) Qual é a menor diferença entre um número inteiro positivo de quatro algarismos e um número inteiro positivo de três algarismos, sendo todos os sete algarismos distintos?
A) 1 B) 13 C) 19 D) 29 E) 36

Para minimizar a diferença em questão, o número de três algarismo deve ser o maior possível e o de quatro algarismos deve ser o menor possível, sempre cumprindo as condições do enunciado. Dadas as restrições, é fácil ver que o maior número de três algarismos é 987 e que o menor número de quatro algarismos é 1023. Assim a diferença em questão é mínima quando vale 1023 – 987 = 36.

GABARITO: E