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segunda-feira, 4 de novembro de 2013

Prof. Bruno Leal Resolve - LXIII - Várias questões da EPCAR - 2012/2013

01.  (EPCAR/2013)  Uma fábrica vende por mês 30 camisas ao preço de 25 reais cada. O custo total de cada camisa para a fábrica é de R$ 10,00.   O gerente da fábrica observou que, a cada redução de R$ 0,50 no preço unitário de cada camisa, são vendidas 5 camisas a mais. Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na venda de cada camisa é de y%. O número de divisores de y é:

Solução:  Se a fábrica vender 150 camisas, significa que vendeu 150 – 30 = 120 a mais que a quantidade vendida normal.  Como a cada 5 camisas a mais vendidas significou o preço de venda unitário baixar 50 centavos, concluímos que tal preço de venda baixou 12 reais, pois 120 : 5 = 24 e 24 x 0,50 = 12.

Logo, cada camisa foi vendida por 25 – 12 = 13 reais e o lucro em cada uma foi de 13 – 10 = 3 reais.  O lucro obtido em cada camisa foi, pois, de 3/10 = 30/100 = 30%.  Logo, y = 30 = 2 . 3 . 5, que possui (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 divisores POSITIVOS e 8 x 2 divisores INTEIROS.

02.  (EPCAR/2013)  Uma mãe dividiu a quantia de R$ 2 100,00 entre seus três filhos de 3, 5 e 6 anos. A divisão foi feita em partes inversamente proporcionais às idades de cada um.  Dessa forma, é verdade que:
a) o filho mais novo recebeu 100 reais a mais que a soma dos valores recebidos pelos outros dois filhos.
b) o filho mais velho recebeu 20% a menos que o filho do meio.
c) a quantia que o filho do meio recebeu é 40% do que recebeu o mais novo.
d) se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais velho teria sua parte acrescida de 40% em relação ao que realmente recebeu.

Solução:  Sejam x, y e z as quantias que os filhos de 3, 5 e 6 anos receberam, respectivamente.  Numa divisão proporcional inversa, o PRODUTO entre os pesos e as partes é constante:  3x = 5y = 6z.

Dividindo todos os termos por mmc(3,5,6) = 30, vem x/10 = y/6 = z/5 x = 10k, y = 6k e z = 5k, sendo k a constante de proporcionalidade.

Como x + y + z = 2100, vem:  10k + 6k + 5k = 2100 21k = 2100 → k = 100.

Logo, x = 1000, y = 600 e z = 500 reais.  A opção correta é a letra d), pois 2100 / 3 = 700 é 140% de 500.


03.  (EPCAR/2013)  Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1/4 da quantia de Pitágoras.
Dessa forma, é correto afirmar que
a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais.
b) Pitágoras possui hoje, 2/3 do que Tales possui.
c) Tales possui hoje, mais que 220 reais.
d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais.

Solução:    1º)  Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um: p – 50 = t + 50 p = t + 100;

2º)  Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1/4 da quantia de Pitágoras:  t – 100 = (p + 100) / 4;

Logo, 4(t – 100) = t + 100 + 100 4t – 400 = t + 200 3t = 600 → t = 200 e p = 200 + 100 = 300.

Logo, a alternativa correta é a letra a), pois 200 + 300 < 600.


04.  (EPCAR/2013)  Maria Fernanda utiliza um balde com capacidade igual a 0,028 hl para aguar as 16 roseiras de seu jardim. Ela enche o balde, inicialmente vazio, e vai, de roseira em roseira, sem desperdício de água, jogando exatamente 800 cm3 em cada uma.

Toda vez que o líquido não é suficiente para continuar, Maria Fernanda retorna e completa a capacidade do balde.

Ela faz isso até que tenha aguado todas as roseiras. É correto afirmar que, para Maria Fernanda aguar todas as roseiras,
a) o volume de água que sobra no balde é maior que 5/7 do total de sua capacidade.
b) o total de água gasto não chega a 15l
c) é necessário encher o balde somente 5 vezes.
d) o volume de água que sobra no balde é menor que 10% do total de água gasto.

Solução:  1º)  Capacidade do balde:  0,028 hl = 2,8 l = 2800 ml;
2º)  Cada balde cheio permite aguar 2800 : 800 = 3 roseiras, sempre restando 400 ml no balde;
3º)  Para que sejam aguadas as 16 roseiras, Maria Fernanda precisará encher o balde 6 vezes, sendo que na última vez que encher, faltará somente 1 roseira a ser aguada;
4º)  Logo, após aguar a última roseira, restarão no balde 2800 – 800 = 2000 ml = 2 l.

Vamos analisar as alternativas:
a)  Falso, pois o volume que sobra no balde é 2000/2800 = 5/7 de sua capacidade, não maior que 5/7;
b)  Verdadeiro, pois ela não gastou 2 l, o que é menor do que 15 l;
c)  Falso, pois o balde foi enchido 6 vezes;
d)  Falso, pois ela gastou 16 x 800 = 12800 ml = 12,8 l para aguar as roseiras, sendo que 2 l > 10% de 12,8 l.


05.  (EPCAR/2013)  Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório em 24 minutos.

Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de k minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de (k + 3) minutos.
Se o volume de água atingido corresponde a 2/3 da capacidade do reservatório, então o tempo total gasto foi
a) 31% de hora                         c) 28% de hora
b) 30% de hora                         d) 27% de hora

Solução:  1º)  Se a primeira torneira leva 36 minutos para encher o reservatório, então, a cada minuto, ela enche 1/36 do mesmo.  Já a segunda torneira, 1/24.

2º)  Após k minutos, o reservatório fica com k/36 de sua capacidade cheia;

3º)  Em (k + 3) minutos, a segunda torneira sozinha consegue encher (k + 3) / 24 do reservatório.  Portanto, o mesmo fica, após esses (k + 3)  minutos com k / 36 + (k + 3) / 24 = (5k + 9) / 72 do seu volume cheio, o que corresponde a 2/3 do total.

4º)  Logo, (5k + 9) / 72 = 2 / 3 → 15k + 27 = 144 → 15k = 117 → k = 117/15 = 39/5.

5º)  Conclui-se que o tempo total gasto foi de 39/5 + 39/5 + 3  = 93 / 5 minutos = 93 / 300 da hora = 31 /100 da hora, ou seja, 31% da mesma, letra a).

06. (EPCAR/2013)  Analise as proposições abaixo.

I) Uma jarra cheia de leite pesa 235 dag; com 3/4 de leite a jarra pesa 19,5 hg. O peso da jarra com 5/8 de leite é y gramas.
A soma dos algarismos de y é igual a 13.

Solução:  1º)  235 dag = 2350 g e 19,5 hg = 1950 g;

2º)  A variação na massa da jarra foi de 2350 – 1950 = 400 g, o que corresponde a 1/4 do volume do leite.  Logo, o leite tem massa igual a 1600 g e o jarro, vazio, 2350 – 1600 = 750 g;

3º)  Com 5/8 de leite, o jarro “pesará “ 750 + 5 x 1600  / 8 = 1750 g.  A soma dos algarismos é 1 + 7 + 5 + 0 = 13, tornando verdadeiro o item.

II)  Com 3/5 de 0,666...  da metade de 1 lata que comporta 20 l  de tinta, um pintor consegue pintar uma área de 16 m2.  Para pintar uma área 25% menor, são necessários, 0,003 m3 de tinta.

Solução:  1º)  0,666... = 6/9 = 2/3;

2º)  Com 3/5 x 2/3 x 1/2 x 20 = 4l, pinta-se 16 m2.  Logo, 1 l de tinta pinta 4 m2;
                               
3º)  Para pinta uma área correspondente a 75% de 16 = 3/4 x 16 = 12 m2, serão necessários 12 : 4 = 3 litros de tinta = 0,003 m3 de tinta, tornando o item verdadeiro.

III)  Um pedreiro prepara uma mistura com 1 kg de cimento e 600 ml de água. Em seguida, ele aumenta em 50% a  quantidade de cimento e mexe até ficar homogênea a mistura, obtendo 1800 ml dessa mistura. Se a densidade da água é 1 g/ml, então a densidade
do cimento é igual a 1,25 kg/l

Solução:  A mistura de 1,5 kg de cimento com 600 ml possui 1800 ml.  Portanto, o cimento tem um volume de 1800 – 600 = 1200 ml = 1,2l, sendo sua densidade, por definição, 1,5 / 1,2 = 1,25 kg / l, sendo verdadeiro o item.

Tem-se que:
a) apenas I é verdadeira.
b) apenas II é falsa.
c) apenas I e II são falsas.
d) I, II e III são verdadeiras.

A alternativa correta é a d).

07.  (EPCAR/2013)  Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1º ano CPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço foi de 10 dias. O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 horas por dia.

Ao final do 8º dia de serviço somente 3/5 do serviço de pintura havia sido executado.

Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de serviço recebeu mais 2 funcionários e todos passaram a trabalhar 9 horas por dia. Com isso a produtividade da equipe duplicou.

A nova equipe, para concluir o trabalho, gastou mais de 1 dia, porém menos de 2 dias.

Se h representa o número de horas que cada funcionário da nova equipe trabalhou no 10º dia de trabalho, então h é um número compreendido entre:
a) 0 e 2                  c) 4 e 6
b) 2 e 4                  d) 6 e 8

Solução:  1º)  6 funcionários, em 6 x 8 = 48 horas de trabalho, fizeram 3/5 do trabalho.  Logo, os 6 funcionários, por hora, fizeram 3/5 : 48 = 3/240 = 1/80 do serviço.  A produtividade de cada funcionário original é 1/80 : 6 = 1/480 do serviço por hora;

2º)  Após o acréscimo dos 2 novos funcionários, por hora, esses 8 funcionários realizam 8/480 x 2 = 16/480 = 1/30 do serviço (pois a produtividade dobrou).

Em 9 horas, fazem 9/30 = 3/10 do serviço.  Como restam 2/5 do mesmo para ficar pronto, os 8 funcionários precisarão de 2/5 : 3/10 = 4/3 do dia = 1 dia inteiro + 1/3 de um dia de 9 horas de trabalho, ou seja, h = 3.

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